江泽涵成就贡献

中国拓扑学奠基人

江泽涵最早开展的是临界点理论的研究。在做博士论文及以后的研究工作中，他把莫尔斯的临界点理论直接应用到分析学中，得到调和函数的许多饶有兴味的结果。江泽涵的主要工作是在复迭空间和纤维丛方面。他研究了不可定向流形的可定向二叶复迭空间，证明了该复迭空间存在一个没有不动点且周期为2的反定向自同胚等结果。他计算了n维球面的有向与无向线素流形的同调群；又和学生们一起计算了上同调，以及球面上其它纤维丛的同调群。

江泽涵最重要的工作是在不动点理论方面的研究。不动点理论是20世纪数学发展中的重大课题之一。早在30年代初他就跟着莱夫谢茨研究这个课题。那时，莱夫谢茨已发表他的着名结果，给出了一个用空间和映射的拓扑性质判别不动点存在性的方法。不久，J·尼尔森（Nielsen）又提出了不动点类的概念，并用它估算亏格大于1的可定向闭曲面上的自同胚的不动点个数。尼尔森的工作比莱夫谢茨进了一步，但他用了双曲几何的特殊工具，因此他的方法不能用到一般的多面体上。江泽涵用复迭空间来替代双曲几何，并取得成功，为尼尔森理论的推广打下了基础。60年代初，江泽涵再次在国内倡导开展不动点理论的研究。那时，尼尔森理论虽然已被推广到紧致多面体上，自同胚也已推广为任何自映射，但由于尼尔森计算的困难等障碍，国际上对它的研究已多年处于停滞不前的局面。江泽涵和他的学生姜伯驹、石根华在多方面开展研究。他先和姜伯驹一起提出自映射的伦型概念，证明尼尔森数具有伦型不变性。在他的指导下，姜伯驹和石根华在尼尔森数的计算和尼尔森数的实现问题上取得了重大突破。他们的工作打破了50年来国际上这个课题研究工作长期停滞的状态，从而在国际上得到很高的评价，被称为'目前国际上关于不动点理论的最新成果'。同行称他们为拓扑学界的一个新的'中国学派'。美国数学家R·布朗（Brown）在他的一本专着《莱夫谢茨不动点定理》中专门用两章的篇幅介绍了他们的结果。1978年，江泽涵和姜伯驹、石根华一起，以他们在不动点理论方面的出色工作获得了全国科学大会奖。

70年代初，江泽涵受到布朗的专着的激励，决心要实现自己多年的宿愿：用自己的观点和方法来总结中国数学家自己的工作。在'文化大革命'后期的艰难环境里，他经过数年努力，写出了专着《不动点类理论》，并于1979年出版。该书着重几何直观，从特例出发引出一般理论，由浅入深地展现出不动点类理论的核心问题。它成功地实现了江泽涵的初衷：为初具拓扑基础的青年读者铺平了学习不动点理论的道路，从而推动了中国不动点理论的研究。以后，江泽涵又亲自把这本专着译成英文，并于1989年由科学出版社与德国施普林格出版社联合出版。

领导北京大学在艰难条件下迅速提高了教学质量和学术水平

北京大学在1912年成立了数学门，1919年改为数学系，是中国第一个数学系。30年代初，它还是国内为数不多的数学系之一，学生也还算多的。但因为多年来教育经费拖欠，加上系里旧传统的影响，教育质量远不如姜立夫创建的南开大学数学系，也不如清华大学数学系。江泽涵主持工作的20多年是北京大学数学系发展历史上的一个十分重要的阶段。他领导数学系，在艰难的条件下迅速改变了面貌，走上了蓬勃发展的道路。

1931年他到数学系当教授时，系里的教学秩序很混乱，对学生的要求松弛，考试也形同虚设；学生纪律散漫，学数学而不做习题。江泽涵作为一个新的教授，他承担了主要教学任务，把主要精力投放在教学上。他面对着种种困难，又没有教学的经验，这时，姜立夫对他作了鼓励，并提出中肯的建议，要他'从低年级的课程教起，随班前进，先给学生以严格的训练'，'等到有了经过严格训练的高年级学生，才可以教一些拓扑学'。江泽涵遵照这个意见，第一年只教低年级的课。他决心担负起整顿教学风气的责任，在教学中坚持要学生做习题，并在课堂纪律、训练和考试等方面严格要求。这样做引起一部分学生的不满，甚至罢课数天以示反抗。但江泽涵有南开大学和清华大学两校严格教学的榜样，又得到理学院和系里的支持，改革得以贯彻，并且顺利地完成教学工作。这是北京大学数学系的一个良好开端，师生的一些旧习惯开始改变。这样坚持了两三年后，他又提倡师生开展研究工作，在系里组织讨论班，吸收高年级学生和年轻教师参加。在讨论班上报告近代文献，开始做研究工作。1934年他任系主任后，就着手进行一系列改革：拟订出一个少而精的教学计划，对必修课和选修课都作了安排；制定了各种规章制度，扭转了混乱状态。

为了提高教学质量，开阔师生的眼界，他邀请外国学者W·F·奥斯古德（Osgood）和E·施佩纳（Sperner）等来北京大学讲学。奥斯古特还在北京大学做了两年（1934－1936年）研究教授。

受姜立夫影响，江泽涵极为重视图书资料建设和搜集数学文献的工作，一到北京大学他就着手抓这项工作。当时系里缺少得力的公职人员，他不仅要筹集经费，还要和国外联系。订购书刊的许多具体事情都要他去做，如选择目录、打印订书单等都是一一亲自办理的。他还常常致函海外，托人补缺少的期刊。

江泽涵在用人方面不立山头，不抱门户之见。他发扬北京大学老校长蔡元培先生倡导的在学术上'兼容并蓄'的精神，任用各个学科方向的有才华的年轻人在北京大学做教员。30年代他聘请了樊畿、孙树本、张禾瑞、王湘浩等北京大学毕业生留校任教，他们分别是应用数学、方程、代数等方向的；他还聘来刚刚留学归来的许宝騄，他是概率统计学家。抗战胜利后回北平重建数学系教师班子时，他又从全国多方聘请了各学科方向的教员，如吴文俊、廖山涛、程民德、孙以丰等当时都受聘为北京大学教员。那时候，中国的许多数学分支的研究还是很薄弱的，有的还是空白。但是在江泽涵主持下的北京大学数学系，教师队伍力量雄厚，学科门类较齐全，教学质量和学术水平也都站到了全国的前列。

1952年院系调整后，虽然他不再担任系领导职务，但他以自己的真诚和坦荡胸怀，和各校来的教授相处得很融洽。他们的团结合作成为榜样，带动全系团结成一体，促进了新建系的繁荣发展，也为新建系的优良风尚的形成打下了基础。