陈建功学术成就

学术综述

三角级数论

20世纪20到40年代，陈建功的研究工作主要是在三角级数论方面。早在20年代，由于在三角级数论方面的卓越贡献，他已誉满东瀛。

陈建功的研究工作始终是致力于肯定卢津猜测的，并在这方面作出了不少极其重要的贡献。三角级数是正交函数的特殊情况。关于一般的正交系{?n（x）}，1922年，H．拉德马赫尔（Rademacher）证明：若∑Cn2（lnln）2<∞，则∑Cn?n（x）概收敛。1925年，д．E．缅绍夫（Mеньщов）证明：若∑Cn2（lnlnn）2<∞，则∑Cn?n（x）的算术平均概收敛。1927年，S．波尔根（Bor－gen）和S．喀茨马茨（Kaczmarz）各自独立证明：若∑Cn2（ln1nn）2<∞，则∑Cn?n（x）的部分和之子列Sk2（x）概收敛。1928年，陈建功证明：上述三个结论是等价的。这种等价性说明了正交函数级数的概收敛问题可以转化为级数的求和以及部分和子列的概收敛问题。从而把相当多的研究内容紧密联系在卢津猜测这一核心问题上。1927年，A．济格蒙德（Zygmund）在关于里斯（Riesz）典型平均问题的一篇论文中给出的一个结论，从某种意义上看，是在于否定卢津猜测的。然而，陈建功在1929年的一篇论文中指出，此结论一般并不成立。

1922年，拉德马赫尔证明ρn（x）=O（√n（lnn）3/2 ε）关于x几乎处处成立，当时E．希尔勃（Hilbert）与O．沙思（Szasz）的数学百科全书中已经认为这个结果不能再改进，但陈建功给出了更好的估计，从而为傅里叶级数的收敛提供了一个新估计。还应提到，在陈建功的遗稿中，还发现一篇对肯定卢津猜测作出积极贡献的未定稿，时间是1949年。

在三角级数的绝对收敛与绝对求和方面，陈建功也作出了卓越的贡献。早在1928年，他就证明：三角级数绝对收敛的充要条件是它为杨氏（Young）连续函数之傅里叶级数。

同年，G．H．哈代（Hardy）与J．E．利特尔伍德（Littlewood）于德国数学时报（Math．Zeits．）上也发表了同一结论，因后者发行广泛，世人常称之为哈代－利特尔伍德定理。还其本源，此定理当称为陈－哈代－利特尔伍德定理。陈建功在三角级数的收敛与求和方面还有许多贡献，难以一一列举，但必须指出，他1944年的（C，a）求和的结果推进了哈代－利特尔伍德的定理。

20世纪50年代，随着国际上复变函数论研究的发展，陈建功在中国也相继开拓了单叶函数论、复变函数逼近论以及拟似共形映照等3个新的研究方向，在复旦大学培育了一支复变函数论的研究队伍。

单叶函数论

单叶函数论的中心问题之一是系数的估值。假设f（z）=z十a2z2十a3z3十…是单位圆内的单叶解析函数，记这种函数的全体为S。1916年，L．比伯巴赫（Bieberbach）提出如下的猜想：若f∈S，则|an|≤n，等号成立限于克贝（Koebe）函数K（z）=z（1－z）－2及其旋转e－?（ei?）。当年，L．比伯巴赫本人仅证得|a2|≤2。此后不少人从事这个猜想的研究，然而一直未成，它已成为几何函数论中着名的难题。直到1984年L．de布朗基（Branges）才彻底解决，他证实比伯巴赫的猜想是正确的，一时震动了全球数学界。在长达68年的岁月中，数学家们为证实这个猜想，想了种种办法，有些人曾给函数以某种限制后再研究系数。

40年代末，国际上有关单叶函数论的文献很多，系数问题也有不少进展，陈建功为了在中国国内开展单叶函数论的研究，于1950年发表了题为《单位圆中单叶函数之系数》的论文，全面评述了国内外关于此问题的进展。此后，他又在浙江大学和复旦大学组织了这方面的研究。1955年和1956年，陈建功又相继发表了《单叶函数论在中国》与《复旦大学函数论教研组一年来关于函数论方面的研究》的综合性论文，介绍和评述了中国学者的研究成果，推动了中国学者在这方面的研究。

复变函数逼近论

复变函数逼近论从其发展历史来看，可以追溯到1885年的C．龙格（Runge）定理：复平面上其余集是含有无穷远点的区域的闭集上之解析函数，可以用多项式来一致逼近。由于复平面上集合的复杂性，复变函数类的多样性，给研究带来种种困难。本世纪50年代，经C．H．梅尔捷良（Mергелян）等人的研究，使它发展成为函数论的一个重要分支。在这样的情况下，陈建功在1956年开始了复变函数逼近论的研究。对于具有极光滑的境界曲线之区域上的解析函数，他用费伯（Faber）级数之切萨罗（Cesaro）平均来一致逼近它。在一定条件下，逼近偏差可以为函数的连续模所控制，从而推进了C．я．阿尔佩尔（Aльnер）1955年关于复变函数逼近中的定量理论。1957年，陈建功对于用ρ级整函数逼近无界区域上的函数取得相当广泛的结果，仅这一结果在ρ=1时的特例，就已改进了H．柯伯（Kober）关于带形域的相应定理。1958年，陈建功又拓广了闵科夫斯基（Minkowski）不等式，然后把上述逼近定理推广到平均逼近方面去。应该提到，陈建功在自己研究复变函数逼近论的同时，还培养了一批函数逼近论的研究生，这批研究生也取得了不少成果。

拟似共形映照

50年代末，根据当时科学发展的形势与国家的需要，陈建功又在中国率先开拓了拟似共形映照方向的研究，这是与一阶椭圆型偏微分方程组的研究密切相关的一个数学分支。这个分支是由德国的H．格勒奇（Grotzsch）于1928年开创的。拟似共形映照有着几何与分析两种独立的定义，在近乎30年的岁月中，这两种意义的拟似共形映照的理论彼此独立地发展着。直到1957年才为L．伯斯（Bers）等人统一起来，从而使拟似共形映照的理论进入新的阶段，引起了国际上的重视。有鉴于此，陈建功立即大力倡导，组织研究。1959年和1960年，他连续发表了关于拟似共形映照函数的赫尔德（Holder）连续性论文，发展了R．法因（Finn）与J．塞林（Serrin）于1958年所得到的成果。他还对于线性椭圆型偏微分方程组的解的赫尔德连续性，作出有价值的结论。在陈建功的指导下，复旦大学与杭州大学拟似共形映照的研究队伍也逐步形成。