【芝诺的生平】
芝诺生活在古代的埃利亚城邦．他是埃利亚学派的著名哲学家(Parmenides)的学生和朋友．关于他的生平，缺少可靠的文字记载．在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去的一次访问．其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂．那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构．然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的．据信芝诺为巴门尼德的“”辩护．但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点．他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”．芝诺有一本著作《论自然》．在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世．”公元5世纪的普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论．芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯(Simplici－us)为《》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证．现存的芝诺悖论至少有 8个，其中关于运动的4个悖论尤为著名．关于芝诺之死,有一则广为流传但情节说法不一的故事说，芝诺因蓄谋反对埃利亚(另一说为)的，而被拘捕、拷打，直至处死．
【芝诺悖论】
下面来考察芝诺关于运动的4个悖论．引号内的是亚里士多德的《物理学》中的原话，前面的小标题是为了便于研究加上的．◆二分说．“运动不存在．理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处．”J．伯内特(Burnet)解释说：即不可能在有限的时间内通过无限多个点．在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷．批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触．须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限．因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的．因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的．”
◆(Achilles，并非荷马史诗《》中的英雄阿基里斯，而是古希腊奥运会中的一名长跑冠军)追龟说．“这个论点的意思是说：一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人．因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先．”伯内特解释说，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了．这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它．亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事．“区别只在于：这里加上的距离不是用二分法划分的．由这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上．而这个结论是根据和二分法同样的原理得到的——因为在这两个论证里得到的结论都是因为无论以二分法还是以非二分法取量时都达不到终结．在第二个论证里说最快的人也追不上最慢的人，这样说只是把问题说得更明白些罢了——因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法．认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的．因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的．”
◆飞箭静止说．“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着．如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的．”亚里士多德接着批驳说：“他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样．”又说：“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的．”
◆运动场悖论．“第四个是关于运动场上运动物体的论点：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等”．亚里士多德接着指出：“这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间．事实上这两者是不相等的．”他的证明可用下面的图解来表示，其中A，B，C代表大小相同的物体．
A A A A A A A A
B B B B—→ B B B B—→
←— C C C C ←—C C C C
AAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体．于是当第一个B到达最末一个C的同时，第一个C也达到了最末一个B．这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半．因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等．这个错误结论是从上述错误假定得出的．
【关于芝诺悖论的分析与研究】
现在把这3个悖论联系起来分析．诚如亚里士多德所说，阿基里斯追龟说其实可以归结为二分说．按照二分说，阿基里斯在到达乌龟的起跑点之前，必须先走过这段距离的1/2，为此，又必须先走过1/4，1/8，等等，即必须在有限的时间内通过无限多个点，因此按芝诺的理由，阿基里斯根本就动弹不了．亚里士多德克服这个困难的办法是说，“时间本身分起来也是无限的”，而在解决飞箭静止说时又说，“时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量也都不是由不可分的部分组合成的那样．”亚里士多德曾明确地论证过“在时间里确有一种不可分的东西，我们把它称之为‘现在’．”于是问题的症结在于亚里士多德所说的不可分的“现在”究竟是什么？如果用区间表示时间，所谓“现在”是长度很短的线段呢，还是长度为零的严格的数学上的点？如果是前者，那么时间就是由“现在”组成的，飞箭就是不动的了．亚里士多德的意思显然是指后者．但按照亚里士多德对二分说的分析，线段(距离)被分割为和无限数的“现在”相对应的无限数的点．又按照二分法的含义，这里的无限是可数的，那么，由可数的无限个长度为零的点组成的线段，其长度必为零，这又矛盾了．因此，芝诺悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾，亚里士多德没有能觉察到这一点，当然实际上没有能驳倒芝诺．P．汤纳利(Tannery)在1885年指出，芝诺悖论所反对的是那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的总和的概念．换句话说，芝诺并不否认运动，但是他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的．芝诺的类似观点还表现在他的两个针对“多”的悖论中．其中一个见于失传的芝诺原著的如下一段残篇：
如果有许多事物，那就必须与实际存在的事物相符，既不多也不少．可是如果有象这样多的事物，事物(在数目上)就是有限的了．如果有许多事物，存在物(在数目上)就是无穷的．因为在各个事物之间永远有一些别的事物，而在这些事物之间又有别的事物．这样一来，存在物就是无穷的了．
芝诺认为存在若是“多”就会导致无穷的论证，也表达在另一个悖论里．它被辛普里西奥斯至少是部分地逐字逐句记述下来．这些记述不象阿基里斯追龟说和飞箭静止说那样经后人或多或少地修改过，虽然表达得没有那么清楚，但是却更接近于芝诺的原话．辛普里西奥斯在他的引言里说，芝诺首先论证既无“大小”又无厚度的东西是不能存在的．“因为如果这样，它加在某物之上不能使其变大，从某物减去也不能使其变小．但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因减少它而使一物减小，这就明显地看出，所增加或所减少的是零．”接着就逐字引用以下一段：
如果是这样，它就必须每一个部分与别的部分有一定的距离．对于位于这一部分前面的那个部分也是如此．那个部分也会有大小，也会有位于其前面的部分．依此类推，永无止境．这样，它的任何一个部分都不会是最外面的边界，也不会有任何一个部分不分割为其它部分．所以，如果存在是多，那么它必然既是小的又是大的：小会小到没有大小，大会大到无穷．
这段引文比较费解，特别是他只逐字引用了后半部分，以证明大会大到无穷．至于证明小会小到没有大小，芝诺依据的是物体的无限可分性，由此假定出发，他容易证明随着分割的继续，各部分越来越小，以至将会小到没有止境．如果有一个最后元素，那就只能是没有大小的“无”．因此，把任意数目的这些“无”元素加在任何东西上都不会使它增大，反之从任何东西里减去它们也不会使它变小；当然，把这些“无”元素通通加起来，即使其数目有无限多个，其总和还是“无”．上述悖论和关于运动的前三个悖论的共同点，在于假定了空间、时间和物体的无限可分性，实际上还讨论了无穷小和连续性．芝诺在这里其实还援引了如下两个假设：
i)无限多个相等的任意小的正量的总和必然是无穷大；
ii)无限多个没有大小的量的总和仍然是没有大小的量．
其中假设ii)是芝诺反对把线段(时间、空间)看成是一个无限点集(无限多个没有大小的量的总和)的主要依据．因此解决芝诺悖论的一个关键就是证明假设ii)不成立．A．格兰巴姆(Grünbaum)于1952年详尽地讨论了这个问题．他把只含有一个点的子区间定义为退化子区间，从而得出下列结论：
1)有限区间(a，b)是退化子区间的连续统的并集；
2)每个退化子区间的长度是零；
3)区间(a，b)的长度是b—a；
4)一个区间的长度不是它的基数的函数．
因此，芝诺的假设ii)不能成立．事实上，将一个线段(或别的量)按二分法进行无限分割，不可能有最后元素．因为既是无限分割，它就是一个没有最后一项的永远不能完成的过程．在取极限的意义上，按结论1)，有限区间(a，b)成为不可数的无限个退化子区间的并集，这时虽然每个退化子区间(或每个点)的长度为0，但整个并集的长度不是0，而是b—a(按结论3))．这样，作为对芝诺和亚里士多德的回答，时间和距离都是作为无长度元素(点)的无穷集合的线性连续统．换言之，线段是点的无穷集合，而时间是无广延的瞬刻的无穷集合，它们都是线性连续统．这样，飞箭静止说这一悖论，原来指在任一给定的瞬刻是不动的但在由无限多瞬刻组成的连续体上却是动的，现在转换成一个新的“悖论”：由无广延的点组成的无穷集却有广延．
关于运动场悖论,值得指出的是，这是古代文献中第一个涉及的问题．在现存的芝诺悖论中，它是唯一的和连续统问题无关的问题．不过也有学者(例如P．汤纳利等人)认为它和连续统问题是有着某种联系的．这样，我们一共讨论了六个芝诺悖论．在古代传说中保存下来的还有另外几个据信是属于芝诺的悖论，由于内容不那么深刻，也比较容易解决，这里就不作介绍了．
【对芝诺的评价、研究及起对后世的影响】
芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉．数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史．”但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的．直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见．英国数学家B．(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了．他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩．遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…．”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨．而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的．然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述．由于目前对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚．比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”也不是简单地把两只羊说成一只羊．在这些悖论后面有着更深层的内涵．亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的．关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的．P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切．相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响．基于同样的假设，H．(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物．他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难．芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的的数学家去探求更好、更准确的基础．另有一些学者持有完全不同的意见．B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法．
虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止．不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销．正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难．”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来．当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学．在稍后的时间里创立了新的比例论(《》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题．因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献．
芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人．在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”．