这里只用联合光组求基点公式求未知量
首先将已知量的值标在示意图2－48上，图中Ⅰ表示近摄镜，Ⅱ表示标准镜头。因为题目没给出两个透镜的厚度（可认为是薄透镜，故每个透镜的两个主面都重合。由（2－36）式：x＇2＝-f2·f＇2/Δ，x1＝f1·f＇1/Δ，其中d＝f＇1 Δ (-f2)，则＝d-f＇1 f2（由图2－36可
见，它可适合任意情况）或由下式求出焦点位置。由图2－36所示，并将上边各式及（2－36）式代入l＇H及lH表示式则
l¢H=f2¢ x¢2 (-f2¢)=f2¢-f2·f2¢ f1¢f2¢
DD
=f2¢(f1¢ D-f2)
D
lH=f1(f1¢-Df2 D)
如将＝d-f＇1 f2，f2＝-f＇2代入上式则：
l¢H=-f1¢ f2f¢d2¢-d（2—46）
lH=f1¢ ff1¢d2¢-d
由（2－36）式求出的等效光组焦点位置是相对两个单光组焦点的距离；由（2—45）式及（2－46）式求出的主点位置是相对两上单光组主平面的距离。用哪个公式结果都是等效的。几何光学的公式都是代数式，在运算过程中将已知量的正负一定代入，除非强调某一式子中各量都是绝对值，才不必考虑符号。下边按（2－46）式计算：
①d＝20mm
计算结果说明等效系统的像方主平面在标准镜头（光组Ⅱ）主平面之左，距离为7．69mm处；等效系统物方主平面在近摄镜（光组Ⅰ）主平面之右距离为15．38mm处。
计算结果说明等效系统像方主点在其像方焦点之左，距离为38．46mm处；物方主点在物方焦距之右相距38．46mm处。
②d＝40mm，其它条件跟①相同，则
从计算结果可知，加近摄镜后，系统的像方主点比没加之前向左移动了（跟标准镜头像方主点比），同时随着两个光组间距的增加向前（向左）移动的愈显著。因此增加了像距（后主平面到曝光窗之间的距离），如图2－49(a)与2－49(b)所示。在标准镜头前加近摄镜，可
拍摄较近物体并能获得较大的影像（因为，β=ss¢）。
两个光组的联合系统其等效焦距f'的值随两光组间距d（或△）的变化而异，d值愈小，f'值也愈小，当d趋于或等于0时，由式（2—
例二：用正切法和截距法求联合系统基点位置和焦距。设两光组都置于空气中且都是薄透镜，f＇＝-f1＝90mm，f＇2＝-f2＝60mm，d＝50mm
（两者间距）。
①正切计算法（如图2－50所示）：
引一条与主光轴平行的入射光线，即tgu1＝0，设h1＝f＇1＝90mm（因为入射高度是任意的，故可取方便于计算的值），按（2－42）式则
有：
tgu¢=tgu=h1=90=1
12f1¢90
h2=h1-dtgu1¢=90-50´1=40mm
l¢=h2=40=24mm
Ftgu¢25/3
以上求出的是像方量，欲求物方量可将光具组前后颠倒求得的数值加负号即可。
②截距计算法（如图2－50所示）
f¢=s¢1s¢2=90´24=54mm
s240
平行光线经过系统后的最后像点s＇2即为联合系统的像方焦点，再结合求得焦距f＇的值及符号就可确定联合系统像方主点的位置。同理可求得物方量。
例三：欲获得一个对无限远物体成实像的系统要求f＇＝1000mm，筒长ι＝700mm（从系统第一面到像平面的距离），后截距l＇＝400mm。试求系统应有的结构。
题意f＇＞ι，而且是成实像的系统，凸透镜能成实像，但只要厚度不特别大时，主面不可能在系统前即不能使f＇＞ι。所以合题意的系统一定是联合光具组。为简便起见设两光组都是薄透镜。设它们像方焦距分别为f＇1和f＇2，两光组间距离为d。如果求出f＇1、f＇2及d的值，所求系统的结构就算知晓。三个未知量，如果按联合光具组理论能列出三个方程式，通过解方程就可获得答案。依题意及式（2－40(a)）及（2－38(a)），下列方程组成立：
ï
î
解得
d＝300mm，f＇1＝500mm，f＇2＝-400mmf＇1为正说明光组Ⅰ是一正透镜；f＇2为负值说明光组Ⅱ是负透镜，且两者相距300mm，如图2-51所示。
例四：在焦距为500mm的光学系统前方或后方加焦距为100mm的负透镜，间距d＝40mm，求组合光具组的焦距，及主点位置l＇H、lH的
值？
(1)负光组在前，f＇1＝-f1＝-100，f＇2＝-f2＝50mm，d＝40mm。由
解：由公式（2-40(a)）及式（2-46），则有：
f¢=f1¢f2¢=50´(-100)＝55.56mm
f1¢ f2¢-d50-100-40
从计算结果可见，正负光组组合，在两个光组间距及它们各自焦距不变条件下，两个光组相对位置不同，联合光具组的基点分布截然不同。如示意图2-52(a)与(b)可见：负组在前时，等效系统（联合光组）的像方主平面位于联合光组之后，此种情况下，有较大的后截距（l＇值大）。具有这种特征的摄影镜头称为反摄远型镜头。因为单镜头反光照相机，有较大的后工作距，所以它可以安装反远距型短焦距摄影镜头，进行正常取景和拍摄；正组在前时，等效兴具组的像方主点前移到联合光具组之前，以致于联合光具组的后焦距比镜筒还长，具有这种性质的结构称摄远型结构。一般长焦距镜头采用这种结构，可使筒长减小三分之一。
在现代大地测量仪器及长焦距照相机中，多采用这种光学系统。
例五：求三片型照相物镜的基点位置和焦距。如图2-53所示，已知条件如表2-1所示。
可见，此系统就不能作为薄透镜组来处理，必须把每一个球面作为一单光具组，故此系统就是由六个单光组构成的联合系统。欲求该系统的基点位置及焦距，用光具组理论中哪种方法都可以。下面再介绍一种常用的方法——近轴光的光路计算方法。
1.什么叫近轴光的光路计算？
如图2-3所示，由P点发出入射于球面的光线与光轴的夹角u很小，其相应的i，i′，u′也很小，则这些角度的正弦值可以用弧度代替。这种光线很靠近光轴，所以叫“近轴光线”。光轴附近区域称为“近轴区”。对△PAC及△PAC应用三角形正弦定律，并以弧度值近似其正弦值，再配合折射定律可得到下列一组公式：
A点的入射高度（等于该点的出射高度）。由△APO和△AP′O可知：
2.怎样进行近轴光的光路计算？
首先进行正向光路计算，取初始坐标：设s1＝-∞（即被摄物体的轴上点以平行于主轴的平行光束入射，u1＝0）并令h1＝10。第一面 的入射角i1=h1，如图2-54所示，此种情况下，i1=j1，j1=sinj=t
r1
gj=h1（因为是近轴区）。由（2-47）式中第一式有：
r1
h1=s1-r1u
r1r11
(s1-r1)u1=h1=10
具体计算过程如表：2-2所示。由S′6确定焦点F′位置l＇F＝s＇6＝67.4707。按（2-41）式，其中h1＝10，tgu＇6＝0.121869（查表2-2）则有：
l¢H=l¢F-f¢=-14564.
把系统倒转（原第一个面变为最后一个面；最后一个面变为第一个面），如表2-3所示。
l¢F=l¢6=700184.
上述结果是反向光路计算得到的数据，应把它们改变符号。这样系统物方基点位置及焦距为：
lF=-l¢F=-70.0184
f=-f¢=-82.055lH=-l¢H=12.0366
以上计算结果如图2-55所示。
3.在计算过程中为什么要列成表格？
从（2-47）各式可知：若知球面半径r，物距s和入射孔径角u由第一式可求得入射角i；已知物方和像方折射率（n与n′及i）用第二式就可求得折射角i′；由已知的u和所求出的i及i′，用第三式便可求得像方孔径角u′；用第五式则可求出该折射面所成像的位置s′。
怎样由一个折射球面过渡到下一个折射球面呢？如图2-54所示可知：前一面的出射孔径角恰是下个面的入射孔径角；前一面的像距跟两面的间距之差（s′-d）便是后一面的物距。再重复用（2-47）式中各式就可求出该面的像距。依次类推就可求得最后一个折射面的像距，再由有关公式就能求得整个系统的基点位置和焦距。但如此孤立的运算，不利于检查运算过程的正确性。如果有错误，很难确定哪一步出了问题，但列表就不同了。
表2-2求三片型镜头基点的计算过程数据表
从表2-2（或表2-3）可见：①各折射面的诸物理量如入射角i、折射角i′、物方孔径角u、像方孔径角u′、物方折射率n、像方折射率n′、折射面的半径r等的数值及符号都一目了然。②各物理量的关系都清清楚楚列入表中，同时每一格内各项运算结果，刚好是次一格第一项的值。以表中最左边各格为例加以说明。第一格中的s减r，正是第二格中的第一项；第二格中各项运算结果正是第三格中的第一项i（式（2-47）之一式）；第三格运算结果便是第四格中的第一项（（式（2－47）之二式）；第四格各项运算结果是式（2－
47）之四式的变形——s′－r＝ri¢，其中u′＝u i-i′是式(2-47)
u¢
之三式，（s′-r）则是第五格中第一项，第五格中各项运算结果恰是第六格中的s′；第七格恰是通过式（2－48）来求像距s′，可以跟前边求得的s′值进行比较，若两者相等，说明前边的计算过程无误；第八格中的（s′-d）就是下个折射四的物距，此面的u′便是下个折射面的物方孔径角u。
总之，对实际光学系统进行近轴光路计算之所以要列表，一方面是方便校对计算是否正确，一方面也是为了便于用台式计算机或计算器进行计算。此种方法对于多个光组的系统比用光具组理论求基点位置及焦距要简单方便些。摄影镜头通常都是多个球面的共轴系统，因此用这种方法更为简单方便。