《今日数学——随笔十二篇》

L·A·斯蒂恩主编。

斯蒂恩，美国现代数学家。本书是一本论文集，它由12篇反映现代数学科学状况的论文组成。

15位美国当代数学家参加了编纂工作。编者的目的是向那些有才智的人们转述现代数学概念的性质、发展和应用。长期以来，人们只熟悉浅显的数学。对于群论、微分拓扑、组合分析、分歧理论、量子场论、摄动理论、网络……等一类数学则感到十分深奥，不敢问津。

本书作者首先在《今日数学》和《数学——看不见的文化》等两篇文章中介绍了数学的历史、性质和数学的困境等，试图以此唤起人们对数学的关注。作者指出，数学，这一古老的文化，作为人类精神最原始的创造物，只有音乐堪与之媲美。

它在人类历史中的地位不亚于语言、艺术或宗教。

然而数学家P·R·哈尔莫斯却慨叹道：“甚至受过教育的人们都不知道我的学科存在，这使我感到伤心!”哈尔莫斯的这种情感是真切的。

因为现今人们都普遍承认数学是科学有力的工具，但高中数学还处在17世纪中叶的水平；大学1年级的微积分不过是18世纪的数学而已。作者认为，数学辉煌的历史与冷落的现实间极不协调的状况出自两方面的原因。

其中数学自身的素质是客观因素。现代数学的困难一方面在于，它以千年作为历史尺度，较之只有几百年历史的物理学或出现更晚的其它科学有着更加深厚而广博的领域；另一方面则因数学的根本概念“数”与“空间”虽不超出经验范畴，但这些概念一经公理化和精确化就离开其简单的出发点十分遥远，使人们很难看出用大量艰涩难懂的专门术语来描述的“数学树”的最新分枝与根部间的关系，造成学习的困难。数学家与群众对话少，纯数学理论的应用还不多、不普及是造成一般人视高深的现代数学无用而不愿学的认识上的原因。

作者指出，智力并不是广泛理解数学的主要障碍，今天应用领域中已涉及到的纯粹数学，都是几十年甚至上千年前的理论研究成果。

人们不应忽略纯数学的价值而对学习取功利主义的态度。L·A·斯蒂恩和他的同事们认为，数学家从孤芳自赏的离群索居中走出来，到广大群众中去传播自己学科的新鲜知识，对于数学的蓬勃健康发展是至关重要的。在本书第2、3、4部分中，作者对现代数学创作的具体介绍正属于这类工作。本书的第2部分，介绍了传统数学领域中的一些新发现。

如《数论》一文介绍了关于素数模型及方程整数解等百年老问题的最新进展；《群与对称性》一文介绍了代数与几何中被称为数学“基本粒子”之一的对称模型及群，并就与多项式方程的根有密切联系的伽罗华群及关系刚体运动的连续的李群作了重点论述；《宇宙的几何学》一文介绍了非欧几何中最简单的罗巴切夫斯基模型及微分几何强有力的工具(流形、张量、切空间、测地线)的建立过程，并对与非欧几何有关联的相对论、爱因斯坦方程和黑洞等问题作了概述；《气象数学》一文描述了在气象学中使用数学方法的历史，并就如何采用量子场论、统计力学、摄动法、数值技术、计算机及数据处理系统解决气象学中高度非线性系统大规模运动所具有的“不确定性转移”问题作了概述；《四色问题》一文则对用多少种颜色可区别地图上不同地区这一百年难题被人与机器的协作所解决一事作了描述。在第3部分中，介绍了现代数学应用领域的几个问题。如《组合调度论》论述了用组合数学和算法理论解决现实问题的最优调度原理，并通过大量实例介绍了用数学模型确定完工时间与加工时间、任务次序、工人数及调度策略等的关系，以达到最短工期的方法；《实验数据的统计分析》一文讨论了关于医疗实验的各种问题，展示了数学在医学上的广泛应用情况，并说明精心的统计学设计可以把医学研究中的病人的危险减少到最低限度；《什么是计算》一文的作者证明：与哥德尔的不可判定性结果有关的某些极端抽象的概念已在算法语言的分析中结出成果，使之能够判别问题的可能与否；《数学作为理解经济的工具》一文用博弈型经济模型的数学分析证明：适当的集中干涉将使经济摆脱“次最优平衡”状态，从而增加公众的经济利益；《生物种群学的数学方面》一文主要论述了如何用数学方法确定生物产生周期性节律的机制及计算、预测生物种群的大小，此外还就生物种群与经济及生态问题的关系作了说明。第4部分中《数学的关联》一文探讨了数学与人类发生关系的不同途径，并举例说明，随着数学和科学活动势头的增长，纯粹数学的应用速度将加快。

除非想排除一切重大发明的可能性，否则就不能光靠过去曾经是有用的那些概念。本书虽不完全是一本通俗读物，但鉴于它在学术和应用方面的价值，以及作者精采而深刻的论述，那些热爱数学或立志为数学科学的发展做出贡献的青年读者，从中可以了解和学习到许多知识。