《现代应用数学基础》

A·H·吉洪诺夫和Д·П·科斯托马罗夫合着。

吉洪诺夫、科斯托马罗夫，前苏联现代数学家。本书是一本以大中学生为主要对象的通俗课外读物。

作者的意图是向读者介绍现代应用数学的基本特点，帮助他们用新观点去理解学校所学的数学思想和概念，教会他们把这些知识运用到实践中去的方法并培养他们对数学的兴趣。除序言外，全书共分8章。首先对现代应用数学产生、发展的历史及其特点作了简短概述。早在人类文明的初期，数学就在实践的需要中萌芽。

然而早期的数学只是解决诸如建筑、土地丈量、航海、计数及管理一类问题的算术运算和几何作业。后来发展了严密的逻辑体系，将数学方法成功地应用到力学、物理学和天文学中。

但此后因计算工具的落后，计算算法及其在实际中的运用都未取得实质性进展。直至进入20世纪50年代，由于电子计算机的出现和不断完善，才逐步形成一个以数学模型、计算算法和电子计算机等三大部分为核心的科学领域。

它从传统的、抽象的“纯粹数学”脱颖而出，自成体系，被称为“现代应用数学”。在第1章《数学模型》中，作者首先对应用数学的含义作了说明。

所谓“应用”，指的是把数学方法用于对现实的非数学对象(如自然现象、生产过程、管理系统、经济计划等)的研究中。客观的研究对象通常是非常复杂的，在研究之前必须将其简单化、理想化和形式化，抽出反映其本质特征的基本性质，并用数学方程加以刻画，建立以数学表达式形式表述的数学模型。有了这种既不等于对象本身，却又与对象相似的数学模型，才有可能用数学方法对现实对象进行研究。

作者以在地球表面抛射物体的弹道为例，生动具体地介绍了该问题的数学模型建立、完善和精确化过程。

在第2章《计算的算法》中，作者先就算法这一概念作了解释。所谓算法，实际上是一种解决数学问题的严格确定的数学运算程序或规则系统。

该系统的一种简单形式是能用公式表示的用来计算所求量的数学运算程序，如用海仑公式由三角形的边长计算面积的算法。另一种复杂的形式，则是对于不能把答案写成公式形式的许多数学问题所采用的算法，如求两个整数n₁和n₂的最大公约数的算法。

这类算法的过程都基于下述步骤，即事先建立一个收敛于所求解的无限过程，并给它一种精确度ε(ε＞0)，然后总可找到某一步数N，当该过程终止于其上时(计算不可能无限地持续下去)，能得到误差不超过ε的近似解。

为帮助读者掌握建立算法的方法，作者举了两个例。其一是关于用10进制小数逐个确定表达式的数字及用建立单调递推序列的方法计算正数平方根的两种算法；其二是关于用倍边公式及反正切展开式计算π的算法。作者指出，无论是具有无限收敛过程的算法，还是用公式表达的简单算法的多次反复运算，其共同特点是必须进行大量的计算。

这些算法通常被称为计算算法。而建立在计算算法基础上的数学问题的解法则被称作数值方法。在手工计算的年代里，数值方法的繁重劳动是令人生畏，有时甚至是无法完成的，故很少被采用。

只有在使用电子计算机的条件下，这一方法才获得强大的生命力。

在第3章《电子计算机》中，介绍了电子计算机产生与发展的历史过程、电子计算机硬件的基本组成情况以及工作原理等。掌握这方面的知识对于完成现代应用数学的全部工作来说是必不可少的。

本书从第4章开始，通过剖析典型的现实事例，用大量篇幅就一些常见的应用数学问题和计算算法进行了详细的专门论述。它们包括方程的数值解法、最优化问题、线性规划、定积分与数值积分、微分方程等。

作者在对这些方面作专门论述时，每次都是从叙述包含在中学教学大纲范围内的问题和概念入手，然后变换提法，逐步深化，直至转向应用数学的现实问题及其解决办法方面。这种分析方法，对于具有高中文化程度的读者来说是十分适宜的。这本书将引导读者从纯粹数学走向应用领域；从过去和现在走向未来。